Skip to content

Støt

Et støt er en kort kontakt mellom to legemer der svært store krefter virker i et svært kort tidsrom. To grunnprinsipp gir oss alt vi treng for å analysere det:

  1. Bevaring av bevegelsesmengde — sum momentum før = sum momentum etter (gjelder alltid, siden ytre krefter er små i forhold til støtkraften i den korte tida).
  2. Koeffisient av restitusjon (\(e\)) — empirisk relasjon mellom relative hastigheter før og etter.

Klassifisering

Type Geometri
Sentralt Massesentrene ligger på støttlinja (linja gjennom kontaktpunktet, vinkelrett på kontaktflata)
Eksentrisk Minst ett massesenter ligger utenfor støttlinja — relevant for stive legemer som kan rotere
Direkte Hastighetene før støt ligger langs støttlinja
Skråstilt (oblique) Hastighetene har komponenter på tvers av støttlinja
Energi \(e\)-verdi
Perfekt elastisk \(e = 1\) — kinetisk energi bevart
Delvis elastisk \(0 < e < 1\) — vanlig tilfelle
Perfekt plastisk \(e = 0\) — legemene fester seg sammen

Grunnligninger — direkte sentralt støt

Massesenter A og B beveger seg langs samme linje.

Bevegelsesmengde (alltid)

\[ m_A v_A + m_B v_B = m_A v'_A + m_B v'_B \]

Koeffisient av restitusjon

\[ \boxed{ \ v'_B - v'_A = e (v_A - v_B), \quad 0 \le e \le 1 \ } \]

Tolkning: Relativ hastighet etter støt = \(e \cdot\) relativ hastighet før, med motsatt fortegn (de skiller seg i stedet for å nærme seg).

To ligninger, to ukjente (\(v'_A, v'_B\)).

Energitap — direkte sentralt støt

Direkte formel for tap av kinetisk energi (slipper å rekne \(T\) før og etter):

\[ \Delta T = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{m_A m_B}{m_A + m_B} \cdot (v_A - v_B)^2 \cdot (1 - e^2) \]
  • \(e = 1\) (elastisk): \(\Delta T = 0\)
  • \(e = 0\) (plastisk): maks energitap

Skråstilt sentralt støt

Dekomponér i komponentar langs støttlinja (\(n\), normal til kontaktflata) og vinkelrett på (\(t\), tangent):

Tangentielle komponenter er uendret (ingen kraft på tvers):

\[ (v_A)_t = (v'_A)_t, \quad (v_B)_t = (v'_B)_t \]

Normale komponenter: Bruk de to grunnligningene over på \(n\)-komponentane:

\[ m_A (v_A)_n + m_B (v_B)_n = m_A (v'_A)_n + m_B (v'_B)_n \]
\[ (v'_B)_n - (v'_A)_n = e \left[ (v_A)_n - (v_B)_n \right] \]

Spesialtilfelle

Perfekt plastisk (\(e = 0\))

Legemene fester seg sammen — felles sluttfart \(v'\):

\[ v' = \dfrac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B} \]

Perfekt elastisk (\(e = 1\)) og like masser

Hastighetene bytter plass:

\[ v'_A = v_B, \quad v'_B = v_A \]

(Klassisk biljardkule-resultat — kvit kule som treffer stillstående rød kule direkte: kvit stopper, rød reiser ut med samme fart.)

Støt mot fast vegg (uendelig masse)

\[ \boxed{ \ v'_n = -e \, v_n, \quad v'_t = v_t \ } \]

Normalkomponenten snur og blir redusert med faktoren \(e\). Tangentialkomponenten er uendret.

Sprett-høgde i serie: En ball som droppes fra høgde \(h_0\) med restitusjon \(e\) mot bakken vil nå:

\[ h_n = e^{2n} h_0 \]

etter \(n\) sprett. Faktor \(e^2\) per sprett kommer av at både opp- og nedhastigheten reduseres med faktor \(e\).

Eksentrisk støt (stive legemer)

Når støtet treff utenfor massesenteret begynner kroppen også å rotere. Da treng man en ny strategi:

Steg 1 — Bevart angulær bevegelsesmengde om kontaktpunktet \(Q\):

Støtkraften virker i \(Q\), så den gir ikkje noko moment om \(Q\). Derfor er \(H_Q\) bevart for kvart legeme:

\[ H_Q^{\text{før}} = H_Q^{\text{etter}} \]

der \(H_Q = \bar I \omega + m \bar v \cdot d\) (med \(d\) = vinkelrett avstand mellom \(\bar v\) og \(Q\)).

Steg 2 — Restitusjon med kontaktpunkthastigheiter (ikkje massesenter):

\[ e = \dfrac{(v'_B)_n - (v'_A)_n}{(v_A)_n - (v_B)_n} \]

der hastighetene er ved sjølve kontaktpunktet:

\[ \vec v_\text{kont} = \vec v_G + \vec\omega \times \vec r_{\text{kont}/G} \]

For plastisk eksentrisk støt (\(e = 0\)): kontaktpunkthastighetene matcher etter støt (eller er null mot fast vegg).

Eksempel 1 — Direkte sentralt støt

To pucker på ein friksjonsfri benk: \(m_A = 2 \ kg\) med \(v_A = 5 \ m/s\) treffer \(m_B = 3 \ kg\) med \(v_B = -1 \ m/s\) (kjem mot kvarandre). Koeffisient \(e = 0{,}6\). Finn farten etter støt.

Bevegelsesmengde:
\(2 \cdot 5 + 3 \cdot (-1) = 2 v'_A + 3 v'_B\)
\(7 = 2 v'_A + 3 v'_B \quad (1)\)

Restitusjon:
\(v'_B - v'_A = 0{,}6 \cdot (5 - (-1)) = 3{,}6 \quad (2)\)

Frå \((2)\): \(v'_B = v'_A + 3{,}6\). Sett inn i \((1)\):
\(7 = 2 v'_A + 3(v'_A + 3{,}6) = 5 v'_A + 10{,}8\)
\(v'_A = -0{,}76 \ m/s\)
\(v'_B = +2{,}84 \ m/s\)

A spretter tilbake (negativ retning), B reiser framover.

Sjekk energitap:
\(\Delta T = -\tfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 \cdot 3}{2+3} \cdot 6^2 \cdot (1 - 0{,}36)\)
\(\Delta T = -\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}2 \cdot 36 \cdot 0{,}64 \approx -13{,}8 \ J\)

Eksempel 2 — Perfekt plastisk (bilkrasj)

En bil på 1500 kg i 60 km/t kjører bakfra inn i en stillstående bil på 1200 kg. Bilane låser seg saman. Felles fart rett etter?

\(v_A = 60/3.6 \approx 16{,}67 \ m/s, \quad v_B = 0\)

\(v' = \dfrac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B} = \dfrac{1500 \cdot 16{,}67}{1500 + 1200} \approx 9{,}26 \ m/s \approx 33{,}3 \ km/t\)

Energitap:
\(T_\text{før} = \tfrac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 16{,}67^2 \approx 208 \ kJ\)
\(T_\text{etter} = \tfrac{1}{2} \cdot 2700 \cdot 9{,}26^2 \approx 115{,}7 \ kJ\)
\(\Delta T \approx -92 \ kJ\) — omtrent 44 % av rørsleenergien går tapt til deformasjon/lyd/varme.

Eksempel 3 — Sprett-høgde i serie

En basketball (\(e = 0{,}75\) mot harde golvet) droppes frå 2 m. Kor høgt sprett han etter 3. sprett?

\(h_3 = e^{2 \cdot 3} \cdot h_0 = 0{,}75^6 \cdot 2 \approx 0{,}178 \cdot 2 \approx 0{,}356 \ m\)

Etter 5 sprett: \(0{,}75^{10} \cdot 2 \approx 0{,}113 \ m\). Etter 10 sprett: praktisk talt død.

Eksempel 4 — Skråstilt mot vegg

En ball treffer ein vertikal vegg med fart \(v = 8 \ m/s\) i vinkel \(\theta = 30°\) frå normalen. Restitusjon \(e = 0{,}8\). Finn farten og vinkelen etter spretten.

Dekomponér:
\(v_n = v \cos\theta = 8 \cos 30° \approx 6{,}93 \ m/s\)
\(v_t = v \sin\theta = 8 \sin 30° = 4{,}00 \ m/s\)

Etter sprett:
\(v'_n = -e \cdot v_n = -0{,}8 \cdot 6{,}93 \approx -5{,}54 \ m/s\) (snur)
\(v'_t = v_t = 4{,}00 \ m/s\) (uendra)

Total fart: \(v' = \sqrt{5{,}54^2 + 4^2} \approx 6{,}84 \ m/s\)
Ny vinkel frå normalen: \(\theta' = \arctan(4 / 5{,}54) \approx 35{,}8°\)

Spretten er flatare enn innfallsvinkelen — typisk for \(e < 1\).

Vanlege fallgruver

  • Bevegelsesmengde er ein vektor. Pass på fortegn ved 1D-problem og dekomponering ved 2D.
  • Restitusjonsformelen bruker relativ hastighet, ikkje absolutt. Husk å bytta fortegn på \(v_B\) hvis dei to går mot kvarandre.
  • Energi er IKKJE bevart unntatt for perfekt elastisk støt (\(e = 1\)). Bevegelsesmengde er alltid bevart (i fråvær av eksterne impulsar).
  • Eksentrisk støt: Bruk kontaktpunkthastighetene i restitusjons-formelen, ikkje massesenter-hastighetene.
  • "Støt"-antakelsen krev at kontakttida er kort nok til at vanlige ytre krefter (tyngd, fjær) kan neglisjerast i sjølve støtfasen.

Relatert