Prosjektilbevegelse

Et prosjektil er et objekt som etter utløsning kun påvirkes av tyngdekraften (vi ser bort fra luftmotstand). Bevegelsen kan dekomponeres til:

Konstant horisontal hastighet — ingen kraft i x-retning
Konstant vertikal akselerasjon \(g = 9{,}81 \ m/s^2\) rettet nedover

Resultatet er en parabel — den klassiske kasteparabelen.

Antagelser

Luftmotstand neglisjeres.
Tyngdens akselerasjon \(g\) er konstant gjennom hele banen.
Jorda er flat (gyldig for normale kast-avstander).
Coriolis-effekt fra jordrotasjonen er ubetydelig.

For lange artilleribaner, fallskjermer eller objekter med stor overflate/masse-forhold må luftmotstand legges til, og analytiske formler erstattes av numerisk integrasjon.

Koordinatsystem

Standard valg:

\(x\)-aksen horisontalt i kastets retning
\(y\)-aksen vertikalt oppover
Origo i utskytingspunktet (kan flyttes ved behov)

Akselerasjon

\[ a_x = 0, \qquad a_y = -g \]

Hastighet

Initialhastighet \(v_0\) med utskytingsvinkel \(\alpha\) over horisontalen gir komponenter:

\[ v_{x0} = v_0 \cos \alpha, \qquad v_{y0} = v_0 \sin \alpha \]

Som funksjon av tid:

\[ v_x(t) = v_0 \cos \alpha \]

\[ v_y(t) = v_0 \sin \alpha - g t \]

Total fart:

\[ v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

Posisjon

\[ x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t \]

\[ y(t) = y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2 \]

Baneligning (uten tid)

Eliminerer man \(t\) fra de to posisjonsligningene får man banen som funksjon av \(x\):

\[ y(x) = y_0 + x \tan \alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \]

Dette er en parabel — uavhengig av \(v_0\) og \(\alpha\) vil banen alltid være parabelformet (så lenge antakelsene over holder).

Nyttige avledede formler

Forutsetning for formlene under: Utskyting fra og landing i samme høyde (\(y_0 = y_\text{slutt}\)).

Maksimal høyde (over utskytingspunktet)

\[ h_\text{max} = \dfrac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2 g} \]

Nås ved \(t = v_0 \sin \alpha / g\).

Flytid (tid i lufta)

\[ t_\text{flytid} = \dfrac{2 v_0 \sin \alpha}{g} \]

Rekkjevidde (horisontal avstand)

\[ R = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]

Maksimal rekkjevidde får man ved \(\alpha = 45°\), der \(\sin(2\alpha) = 1\):

\[ R_\text{maks} = \dfrac{v_0^2}{g} \]

Symmetri

To kastevinkler \(\alpha\) og \((90° - \alpha)\) gir samme rekkjevidde — for eksempel \(30°\) og \(60°\). Den lave vinkelen gir kortere flytid og flatere bane; den høye gir lengre flytid og høyere bane.

Variabler

\(v_0 =\) Utskytingsfart [\(m/s\)]
\(\alpha =\) Utskytingsvinkel over horisontalen [\(rad\) eller \(°\)]
\(g =\) Tyngdens akselerasjon, \(9{,}81 \ m/s^2\)
\(y_0 =\) Utskytingshøyde over referansenivå [\(m\)]
\(t =\) Tid etter utskyting [\(s\)]
\(x, y =\) Horisontal og vertikal posisjon ved tid \(t\) [\(m\)]
\(v_x, v_y =\) Horisontal og vertikal hastighet ved tid \(t\) [\(m/s\)]
\(h_\text{max} =\) Maksimal høyde over utskytingspunktet [\(m\)]
\(R =\) Rekkjevidde (horisontal avstand til landing) [\(m\)]
\(t_\text{flytid} =\) Total tid i lufta [\(s\)]

Utledning av baneligningen

Fra \(x\)-ligningen:

\(x = v_0 \cos \alpha \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = \dfrac{x}{v_0 \cos \alpha}\)

Setter dette inn i \(y\)-ligningen (med \(y_0 = 0\) for enkelhets skyld):

\(y = v_0 \sin \alpha \cdot \dfrac{x}{v_0 \cos \alpha} - \tfrac{1}{2} g \left(\dfrac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2\)

\(y = x \tan \alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\)

Utledning av rekkjevidde

Ved landing (samme høyde): \(y = 0\).

\(0 = x \tan \alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\)

\(x \left( \tan \alpha - \dfrac{g x}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) = 0\)

Den ikke-trivielle løsningen (\(x \neq 0\)):

\(x = \dfrac{2 v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\)

(brukte identiteten \(2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin 2\alpha\)).

Når landing er på annen høyde

Hvis prosjektilet lander på høyde \(y_\text{slutt} \neq y_0\) (kastet fra et tak, opp en skråning, e.l.) kan man ikke bruke shortcut-formlene over for rekkjevidde og flytid. Da må man:

Metode 1 — Tidsbasert: Finn flytida \(t\) fra den kvadratiske ligningen

\[ y_\text{slutt} = y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2 \]

og sett deretter inn i \(x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t\) for å få rekkjevidden.

Metode 2 — Direkte i baneligningen: Løs

\[ y_\text{slutt} = y_0 + x \tan \alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \]

for \(x\). Velg den positive løsningen i kastretningen.

Eksempel 1 — Klassisk skrå utskyting

En ball kastes med \(v_0 = 20 \ m/s\) og vinkel \(\alpha = 30°\) over horisontalen (lik utskytings- og landingshøyde). Finn rekkjevidde, maks høyde og flytid.

Trigverdier: \(\sin 30° = 0{,}5\), \(\cos 30° \approx 0{,}866\), \(\sin 60° \approx 0{,}866\).

Rekkjevidde:
\(R = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \dfrac{20^2 \cdot 0{,}866}{9{,}81} \approx 35{,}3 \ m\)

Maks høyde:
\(h_\text{max} = \dfrac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g} = \dfrac{(20 \cdot 0{,}5)^2}{2 \cdot 9{,}81} \approx 5{,}1 \ m\)

Flytid:
\(t_\text{flytid} = \dfrac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = \dfrac{2 \cdot 20 \cdot 0{,}5}{9{,}81} \approx 2{,}04 \ s\)

Eksempel 2 — Kast fra høyde

En stein blir kastet horisontalt (\(\alpha = 0\)) fra et 30 m høyt stup med \(v_0 = 10 \ m/s\). Hvor langt ute treffer den vannet?

\(v_x = v_0 = 10 \ m/s, \quad v_{y0} = 0\)

Finn flytida fra \(y(t) = 0\) med \(y_0 = 30\):

\(0 = 30 - \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{60 / 9{,}81} \approx 2{,}47 \ s\)

Horisontal avstand:

\(x = v_x \cdot t = 10 \cdot 2{,}47 \approx 24{,}7 \ m\)

Eksempel 3 — Treffvinkel ved landing

Bruk samme data som eksempel 1 (\(v_0 = 20 \ m/s\), \(\alpha = 30°\)). I hvilken vinkel treffer ballen bakken?

Ved landing (samme høyde) er \(|v_y| = v_{y0}\) pga. symmetri, og \(v_x\) er uendret.

\(v_x = 20 \cos 30° \approx 17{,}32 \ m/s\)
\(v_y = -20 \sin 30° = -10 \ m/s\) (nedover)

Treffvinkel under horisontalen:

\(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{|v_y|}{v_x}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{10}{17{,}32}\right) \approx 30°\)

Lik utskytingsvinkelen — som forventet av symmetrien.

Sjekkliste — vanlige feil

Vinkelenhet: Sørg for at kalkulatoren står i grader når du regner \(\sin 30°\) — eller bruk radianer (\(30° = \pi/6\)) konsekvent.
Fortegn på \(g\): I formlene over er \(g\) et positivt tall (\(9{,}81\)) og fortegnet håndteres eksplisitt (-g i \(a_y\)). Ikke putt inn \(g = -9{,}81\) i tillegg.
Referansenivå for \(y\): Vær konsistent — enten origo i utskytingspunktet (\(y_0 = 0\)) eller på bakken (\(y_0 = h\)). Ikke bland.
Shortcut-formlene for \(R, h_\text{max}, t_\text{flytid}\) forutsetter lik utskytings- og landingshøyde. Hvis ikke — bruk baneligningen direkte.
Luftmotstand: For lette objekter, høy fart eller lange baner reduserer luftmotstand rekkjevidden betydelig (kan halveres for en pingpongball). Formlene gir en øvre grense.