Derivasjon

Den deriverte forteller hvor raskt en størrelse endrer seg når noe annet endrer seg. Geometrisk er det stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen.

Mekanisk intuisjon — alt vi gjør med tid og bevegelse er deriverte:

• \(v(t) = \dfrac{ds}{dt}\)    hastighet = endring i posisjon per endring av tid
• \(a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2 s}{dt^2}\)    akselerasjon = endring i hastighet per endring av tid
• \(P = \dfrac{dW}{dt}\)    effekt = endring i mengde arbeid per endring i tid
• \(\dot{m} = \dfrac{dm}{dt}\)    massestrøm = endring i masse per endring i tid
• \(\sigma = E \cdot \varepsilon\), der \(\varepsilon = \dfrac{dL}{L}\)    tøyning = endring i lengde per lengde

Notasjon

Form	Eksempel	Brukes når
Leibniz	\(\dfrac{df}{dx}\)	Du vil framheve hva du deriverer mot. Lett å "regne med" som brøk (kjerneregel, separable ligninger). Lett å lese som endring i \(f\) per endring i \(x\)
Lagrange	\(f'(x)\)	Kort og enkelt, vanlig i ren matematikk.
Newton	\(\dot{x}, \ddot{x}\)	Tidsderiverte i fysikk/mekanikk.

---

Grunnregler

1. Konstantregelen

\[\Large \dfrac{d}{dx}(c) = 0\]

En konstant endrer seg ikke — stigningstallet er null.

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}(7) = 0\)

---

2. Potensregelen

\[\Large \dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}\]

Hovedverktøyet for polynomer. "Ta eksponenten ned, trekk én fra."

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)

---

3. Konstantfaktor

\[\Large \dfrac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x)\]

Konstanter står utenfor og blir igjen.

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}(5x^2) = 5 \left ( \cdot \dfrac{d}{dx}(x^2) \right ) = 10x\)

---

4. Sum- og differanseregelen

\[\Large (f \pm g)' = f' \pm g'\]

Deriver hvert ledd for seg.

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}(x^3 + 2x - 4) \, \, \, = \, \, \, \dfrac{d}{dx}(x^3) + \dfrac{d}{dx}(2x) - \dfrac{d}{dx}(4) \, \, \, = \, \, \, 3x^2 + 2\)

---

5. Produktregelen

\[\Large (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\]

Brukes når to funksjoner ganges sammen og ingen er en ren konstant.

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}(x^2 \cdot \sin x) \, \, \, = \, \, \, \sin x \cdot \left ( \dfrac{d}{dx}(x^2) \right ) + x^2 \cdot \left ( \dfrac{d}{dx}(\sin x) \right ) \, \, \, = \, \, \, 2x \sin x + x^2 \cos x\)

---

6. Kvotientregelen

\[\Large \left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\]

\(\,\)

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{\cos x}\right) = \dfrac{2x \cos x + x^2 \sin x}{\cos^2 x}\)

Tips: Ofte enklere å skrive om til produkt: \(\dfrac{f}{g} = f \cdot g^{-1}\), og bruke produkt- + kjerneregel. Færre fortegnsfeil.

---

7. Kjerneregelen (chain rule)

\[\Large \dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Den viktigste regelen i praksis. Brukes når funksjon ligger inni funksjon.

"Deriver det ytre med det indre som argument, gang med deriverte av det indre."

Eksempel: \(\dfrac{d}{dx} \sin(3x^2) = \cos(3x^2) \cdot 6x\)

---

Vanlige deriverte — oppslagstabell

Algebraiske

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(c\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n \cdot x^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\dfrac{1}{x^n}\)	\(-\dfrac{n}{x^{n+1}}\)

Eksponential og logaritme

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(e^{kx}\)	\(k \cdot e^{kx}\)
\(a^x\)	\(a^x \cdot \ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\ln \lvert x \rvert\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x \cdot \ln a}\)

Trigonometriske

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\)
\(\cot x\)	\(-\csc^2 x\)
\(\sec x\)	\(\sec x \cdot \tan x\)
\(\csc x\)	\(-\csc x \cdot \cot x\)

Inverse trigonometriske

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(\arcsin x\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)	\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\text{arccot}\, x\)	\(-\dfrac{1}{1+x^2}\)

Hyperbolske

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(\sinh x\)	\(\cosh x\)
\(\cosh x\)	\(\sinh x\)
\(\tanh x\)	\(\text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x\)

---

For copy/paste

Markdown / LaTeX:

$$
\dfrac{d}{dx}(c) = 0
$$

$$
\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}
$$

$$
\dfrac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x)
$$

$$
(f \pm g)' = f' \pm g'
$$

$$
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
$$

$$
\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}
$$

$$
\dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

$$
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}
$$

Vanlige deriverte:

$\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$
$\dfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{x^2}$

$\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$
$\dfrac{d}{dx}e^{kx} = k e^{kx}$
$\dfrac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$
$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{d}{dx}\log_a x = \dfrac{1}{x \ln a}$

$\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$
$\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
$\dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$
$\dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$
$\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$
$\dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$

$\dfrac{d}{dx}\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\dfrac{d}{dx}\arccos x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}$

$\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$
$\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$
$\dfrac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x$