Skip to content

Newtons andre lov (kinetikk av partikler)

Summen av krefter som virker på en partikkel er lik massen ganger akselerasjonen.

Formel

\[ \sum \vec F = m \vec a \]

Når man løser konkrete problemer dekomponerer man vektorligningen i et koordinatsystem som passer geometrien. Valg av koordinatsystem har stor betydning for hvor enkel regningen blir.

Komponentformer i ulike koordinatsystem

Kartesisk (x, y, z)

\[ \sum F_x = m a_x, \quad \sum F_y = m a_y, \quad \sum F_z = m a_z \]

Brukes når: Bevegelsen er rettlinjet, eller når de naturlige aksene er faste i rommet (horisontalt/vertikalt). Klassisk for projektiler, kasse på skråplan, blokk på bord, osv.

Tangentiell og normal (t, n)

\[ \sum F_t = m a_t = m \dfrac{dv}{dt} \]
\[ \sum F_n = m a_n = m \dfrac{v^2}{\rho} \]

Brukes når: Partikkelen følger en kjent kurve (bil i sving, perle på tråd, kulebane langs spor). Aksene følger banen: \(\hat e_t\) peker langs farten, \(\hat e_n\) peker mot krumningssenteret.

Den normale komponenten gir alltid en kraft mot krumningssenteret. Se Sentripetal akselerasjon.

Radial og transversal / polar (r, θ)

\[ \sum F_r = m(\ddot r - r\dot\theta^2) \]
\[ \sum F_\theta = m(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta) \]

Brukes når: Bevegelse beskrives naturlig fra et fast senterpunkt (planetbaner, sentralkrefter, partikkel i roterende spor, robotarm). Aksene roterer med partikkelen: \(\hat e_r\) peker fra origo til partikkelen, \(\hat e_\theta\) står vinkelrett (i økende \(\theta\)-retning).

Spesialtilfelle — sentralkraft: Når den eneste kraften på partikkelen peker mot eller fra origo, er \(\sum F_\theta = 0\). Det fører til at $r^2 \dot\theta = $ konstant (Keplers 2. lov / bevart angulært bevegelsesmoment).

Variabler

\(\vec F =\) Kraftvektor [\(N\)]
\(m =\) Masse [\(kg\)]
\(\vec a =\) Akselerasjon [\(m/s^2\)]
\(v =\) Fart langs banen [\(m/s\)]
\(\rho =\) Krumningsradius på banen i punktet [\(m\)]
\(r =\) Avstand fra origo til partikkelen [\(m\)]
\(\theta =\) Vinkel fra fast referanseakse [\(rad\)]
\(\dot r, \ddot r =\) Første og andre tidsderivert av \(r\) [\(m/s\), \(m/s^2\)]
\(\dot\theta, \ddot\theta =\) Vinkelhastighet og vinkelakselerasjon [\(rad/s\), \(rad/s^2\)]

Enheter og antagelser

  • SI-enheter: \(N\), \(kg\), \(m\), \(s\), \(rad\).
  • Gjelder i et inertialsystem (ikke-akselererende referansesystem). I roterende referansesystem må man legge til fiktive krefter (sentrifugal- og Corioliskraft).
  • \(m\) antas konstant. For variabel masse (rakett, transportbånd med pålast) brukes den fullstendige formen \(\vec F = d(m\vec v)/dt\).
  • Krumningsradiusen \(\rho\) er den lokale radiusen til banen — for sirkelbevegelse er \(\rho = r\) konstant.

Valg av koordinatsystem — praktisk huskeliste

Geometri / type problem Naturlig koordinatsystem
Rettlinjet, horisontalt/vertikalt Kartesisk
Skråplan, projektil Kartesisk (gjerne rotert til skråplanet)
Sirkulær eller kurvet bane, kjent radius Tangentiell–normal
Bevegelse om et fast senter, sentralkrefter Radial–transversal
Roterende arm/spor med glidende partikkel Radial–transversal

Eksempel

En bil på 1200 kg kjører gjennom en horisontal sving med radius 50 m i 60 km/t. Hvor stor sidekraft må veibanen gi for å holde bilen i svingen?

\(v = 60/3.6 \approx 16{,}67 \ m/s\)
\(\rho = 50 \ m, \quad m = 1200 \ kg\)

Bruker tangentiell–normal komponent (normalretning er inn mot svingsenteret):

\(\sum F_n = m \dfrac{v^2}{\rho} = 1200 \cdot \dfrac{16{,}67^2}{50} \approx 6670 \ N\)

Veibanen må gi ca. 6,7 kN sidekraft — fra friksjon eller dosering (banking) eller en kombinasjon.

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
\sum \vec F = m \vec a
$$

$$
\sum F_t = m \dfrac{dv}{dt}, \qquad \sum F_n = m \dfrac{v^2}{\rho}
$$

$$
\sum F_r = m(\ddot r - r\dot\theta^2), \qquad \sum F_\theta = m(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)
$$

Relatert