Potensiell energi

Energi lagret i et konservativt kraftfelt — kan omdannes til kinetisk energi (og tilbake) uten tap. De tre vanligste formene i mekanikken er:

Tyngdepotensial nær bakken — når \(g\) kan regnes konstant
Gravitasjonspotensial over store avstander — når \(g\) varierer med høyden
Elastisk potensial i fjær — Hookes lov

Formel

Tyngd nær bakken (g konstant)

\[ V_g = m g y \]

Gravitasjon over store avstander (g varierer)

\[ V_g = -\dfrac{G M m}{r} \]

Elastisk (lineær fjær)

\[ V_e = \tfrac{1}{2} k x^2 \]

Variabler

\(V_g =\) Tyngdepotensial [\(J\)]
\(V_e =\) Elastisk potensial [\(J\)]
\(m =\) Masse [\(kg\)]
\(g =\) Tyngdens akselerasjon, \(\approx 9{,}81 \ m/s^2\)
\(y =\) Høyde over et fritt valgt referansenivå [\(m\)]
\(G =\) Gravitasjonskonstant \(= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \ N \cdot m^2 / kg^2\)
\(M =\) Masse til det dominerende legemet (jorda, sola, e.l.) [\(kg\)]
\(r =\) Avstand fra senter til senter [\(m\)]
\(k =\) Fjærstivhet [\(N/m\)]
\(x =\) Forskyvning fra avslappet (uspent) lengde [\(m\)]

Enheter og antagelser

SI-enheter: \(J\), \(N\), \(m\), \(kg\).
Tyngd nær bakken: Forutsetter at \(g\) er konstant. Gjelder så lenge høydeendringen er liten mot jordas radius (alle jordnære problem).
Gravitasjon (fjern variant): Brukes for satellitt- og banemekanikk. Negativt fortegn — potensialet er null i uendelig avstand og blir negativt når man nærmer seg legemet. Snarvei: \(G M = g R^2\) der \(R\) er planetens radius og \(g\) er overflateakselerasjonen, slik at man slipper å slå opp \(GM\).
Fjær: Forutsetter en lineær fjær (Hookes lov: \(F = -k x\)) og at \(x\) måles fra uspent posisjon. Formelen gjelder både ved trykk og strekk.
Referansenivå: For \(V_g = mgy\) kan referansen velges fritt — bare differansen \(\Delta V\) har fysisk betydning.

Sammenheng med kraft

Kraft er den negative gradienten av potensiell energi:

\[ F = -\dfrac{dV}{dx} \]

Sjekk:

Tyngd: \(V = mgy \;\Rightarrow\; F = -mg\) (nedover)
Fjær: \(V = \tfrac{1}{2}kx^2 \;\Rightarrow\; F = -kx\) (mot likevekt)
Gravitasjon: \(V = -GMm/r \;\Rightarrow\; F = -GMm/r^2\) (mot senter)

Bevaring av mekanisk energi

Når kun konservative krefter virker:

\[ T_1 + V_1 = T_2 + V_2 \]

Friksjon, luftmotstand og plastisk deformasjon er ikke konservative — da må man legge til arbeidet utført av ikke-konservative krefter:

\[ T_1 + V_1 + U_{\text{ikke-kons}} = T_2 + V_2 \]

Se Kinetisk energi.

Eksempel — bil i fritt rull

En bil (\(m = 1500 \ kg\)) ruller fritt nedover en bakke som faller 20 m. Hvilken hastighet får den ved foten, dersom vi ser bort fra friksjon og luftmotstand?

Velg referansenivå ved foten av bakken. Topp: \(y_1 = 20 \ m, \ v_1 = 0\). Bunn: \(y_2 = 0, \ v_2 = ?\)

\(T_1 + V_1 = T_2 + V_2\)
\(0 + m g \cdot 20 = \tfrac{1}{2} m v_2^2 + 0\)
\(v_2 = \sqrt{2 g \cdot 20} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} \approx 19{,}8 \ m/s \approx 71 \ km/t\)

Bilens masse forsvinner ut av regnestykket — et tegn på at man er på rett spor.

Eksempel — sammenpresset fjær

En fjær med stivhet \(k = 2000 \ N/m\) er sammenpresset 50 mm fra avslappet lengde. Hvor mye energi er lagret?

\(x = 0{,}050 \ m\)

\(V_e = \tfrac{1}{2} k x^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 2000 \cdot 0{,}050^2 = 2{,}5 \ J\)

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
V_g = m g y
$$

$$
V_g = -\dfrac{G M m}{r}
$$

$$
V_e = \tfrac{1}{2} k x^2
$$