Resistans i leder

DC-resistansen til ein metallisk leiar — proporsjonal med lengda, omvendt proporsjonal med tverrsnittet, og skalert med materialets spesifikke resistans \(\rho\). Brukast for å rekne kabel-resistans (og dermed spenningsfall og varmetap).

Formel

\[ \huge R = \rho \cdot \dfrac{L}{A} \]

Variabler

\(R =\) Resistans (\(\Omega\))
\(\rho =\) Spesifikk resistans (resistivitet) for materialet (\(\Omega \cdot mm^2 / m\) eller \(\Omega \cdot m\))
\(L =\) Lengd på leiaren (\(m\))
\(A =\) Tverrsnitt (\(mm^2\) eller \(m^2\) — må matche \(\rho\))

Enheter og antagelser

Ingeniør-enheten \(\Omega \cdot mm^2/m\) er praktisk fordi du då kan bruke \(L\) i meter og \(A\) i \(mm^2\) direkte — slik kabeltverrsnitt er oppgitte. SI-versjonen er \(\Omega \cdot m\) med \(L\) i meter og \(A\) i \(m^2\).

Omrekning: \(1 \, \Omega \cdot mm^2/m = 10^{-6} \, \Omega \cdot m\)

Formelen gjeld for DC og for AC ved låge frekvensar (50/60 Hz, vanlege tverrsnitt). Ved høgare frekvensar reduserer skin-effekten den effektive tverrsnittet — relevant ved sveiseapparat, høgfrekvent omformerstraum, eller leiarar over ca. 50 mm² ved 50 Hz.

Resistansen er temperaturavhengig:

\(\large R_T = R_{20} \cdot [1 + \alpha \cdot (T - 20°C)]\)

For kobber er \(\alpha \approx 0{,}0039 \, /°C\) — det vil seie ca. 20 % auke frå 20 °C til 70 °C (typisk drifts-temperatur i ein kabel).

Spesifikk resistans, vanlege material (ved 20 °C)

Material	\(\rho\) (\(\Omega \cdot mm^2/m\))	\(\alpha\) (\(/°C\))
Sølv	0,0159	0,0038
Kobber	0,0175	0,0039
Gull	0,022	0,0034
Aluminium	0,028	0,0040
Stål	0,10–0,15	0,005
Konstantan	0,50	0,00001

Ein praktisk hugsregel: Al har ca. 60 % av leiingsevna til Cu — for same resistans må Al-tverrsnittet vera ca. 1,6× større.

Sjå AWG/mm² kabelstørrelse for tverrsnitt-tabell.

Eksempel

1) 100 m 2,5 mm² Cu installasjonskabel:

\(R = \rho \cdot \dfrac{L}{A} = 0{,}0175 \cdot \dfrac{100}{2{,}5} = 0{,}70 \, \Omega\)

(Per leiar — eit kabelpar har \(2 \cdot 0{,}70 = 1{,}4 \, \Omega\) tur og retur.)

2) Same lengd, men i Al:

\(R = 0{,}028 \cdot \dfrac{100}{2{,}5} = 1{,}12 \, \Omega\)

For å matche kobberets resistans i Al, treng vi:

\(A_{Al} = \dfrac{\rho_{Al} \cdot L}{R_{Cu}} = \dfrac{0{,}028 \cdot 100}{0{,}70} = 4{,}0 \, mm^2\)

→ 4 mm² Al ≈ 2,5 mm² Cu, som forventa frå 1,6×-regelen.

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
R = \rho \cdot \dfrac{L}{A}
$$

Python:

RHO = {
    "Cu": 0.0175,    # Ω·mm²/m ved 20 °C
    "Al": 0.028,
    "Ag": 0.0159,
    "Au": 0.022,
    "Fe": 0.12,
}

def resistans(L, A, material="Cu", T=20.0):
    """Resistans [Ω] for leiar med lengd L [m] og tverrsnitt A [mm²]."""
    rho = RHO[material]
    alpha = 0.0039 if material in ("Cu", "Al", "Ag", "Au") else 0.005
    rho_T = rho * (1 + alpha * (T - 20))
    return rho_T * L / A