Kinetisk energi

Energien et legeme har på grunn av bevegelse. Tre vanlige former — translasjon, ren rotasjon om fast akse, og generell plan bevegelse — har samme grunnstruktur: \(\tfrac{1}{2} \cdot \text{"treghet"} \cdot \text{"hastighet"}^2\).

Formel

Translasjon (punktmasse eller legeme uten rotasjon)

\[ T = \tfrac{1}{2} m v^2 \]

Ren rotasjon om fast akse

\[ T = \tfrac{1}{2} I_O \omega^2 \]

Generell plan bevegelse (translasjon + rotasjon)

\[ T = \tfrac{1}{2} m \bar v^2 + \tfrac{1}{2} \bar I \omega^2 \]

Variabler

\(T =\) Kinetisk energi [\(J\)]
\(m =\) Masse [\(kg\)]
\(v =\) Fart (for punktmasse / ren translasjon) [\(m/s\)]
\(\bar v =\) Fart til massesenteret \(G\) [\(m/s\)]
\(\omega =\) Vinkelhastighet [\(rad/s\)]
\(I_O =\) Massetreghetsmoment om den faste rotasjonsaksen \(O\) [\(kg \cdot m^2\)]
\(\bar I =\) Massetreghetsmoment om akse gjennom massesenteret \(G\) [\(kg \cdot m^2\)]

Enheter og antagelser

SI: \(J = N \cdot m = kg \cdot m^2 / s^2\).
Vinkelhastighet må være i \(rad/s\) (ikke grader eller rpm). Konvertering: \(\omega = \pi N / 30\), der \(N\) er rpm.
Steiners sats kobler \(I_O\) og \(\bar I\): \(I_O = \bar I + m \bar r^2\), der \(\bar r\) er avstanden mellom rotasjonsaksen og massesenteret. Se Treghetsmoment.
Generell plan bevegelse: massesenteret beveger seg med \(\bar v\), samtidig som kroppen roterer med \(\omega\). Eksempler: hjul som ruller, kasse som tipper.
For ren rulling uten glidning gjelder \(\bar v = r \omega\), slik at de to leddene kan samles til \(T = \tfrac{1}{2}(m + \bar I/r^2) \bar v^2\).

Sammenheng — arbeid og energi

Arbeidet utført av netto kraft og moment på legemet er lik endring i kinetisk energi:

\[ U_{1\to 2} = T_2 - T_1 \]

Når kun konservative krefter virker (tyngd, fjær, gravitasjon), er total mekanisk energi bevart:

\[ T_1 + V_1 = T_2 + V_2 \]

Se Potensiell energi.

Eksempel — rullende hjul

Et solid hjul (\(m = 10 \ kg\), \(r = 0{,}3 \ m\)) ruller uten å gli med \(\bar v = 4 \ m/s\). Hva er total kinetisk energi?

Massetreghetsmoment for solid sylinder om symmetriaksen:
\(\bar I = \tfrac{1}{2} m r^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}45 \ kg \cdot m^2\)

Ren rulling gir \(\omega = \bar v / r = 4 / 0{,}3 \approx 13{,}33 \ rad/s\).

\(T = \tfrac{1}{2} m \bar v^2 + \tfrac{1}{2} \bar I \omega^2\)
\(T = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}45 \cdot 13{,}33^2\)
\(T = 80 \ J + 40 \ J = 120 \ J\)

Av den totale energien ligger 80 J i translasjon og 40 J i rotasjon — for en solid sylinder utgjør rotasjonsleddet altså \(1/3\) av totalen.

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
T = \tfrac{1}{2} m v^2
$$

$$
T = \tfrac{1}{2} I_O \omega^2
$$

$$
T = \tfrac{1}{2} m \bar v^2 + \tfrac{1}{2} \bar I \omega^2
$$